人们在没有计算机的帮助下是如何计算根号 3？

看了一圈，居然没有人提到这样一个方法. 那就由我来讲讲吧. （真的是很巧妙的一个方法.）

首先，我们知道

，于是我们就有

对上述不等式进行平方，可得

即

即

这表示

比

小，且将

作为

的近似值时，误差不超过

. 当然，这个结论就算不这样折腾一番你也能够轻松得到（毕竟

而

嘛），但别急，我们还没完.

对上述不等式再平方，有

即

即

这说明

比

大，且如果用

作为

的近似值，误差小于

.

将不等式

再平方，即有

即

这说明

，且误差小于

.

到了这里你应该已经能够看出一些端倪了. 如果还想知道

的更加精确的近似值，那么可以继续对不等式进行平方. 这里我们再演示一次：对

进行平方，有

即

这说明

且误差小于 250 万分之一，这已经是

的相当好的近似值了. 当然，如果你有兴趣，还可以把这种工作继续进行下去，这样就可以得到更加精确的近似值了.

实际上，上述方法对于求任何正数

的算术平方根

都是适用的. 具体说来，任取正数

，并设已知其与

的差距不超过（正数）

，即

两端平方，可得

整理可得

可以看到，当

（即

，或

）时，

是比

更好的关于

的近似值，且误差小于

. 此时，将

作为

再次进行上述操作，就可以得到更好的关于

的近似值. 可以证明，将这样的操作无限进行下去，所得关于

的近似值可以任意精确并无限接近于

的准确值.

更细致的描述如下. 设

是任意正数，其与

之差的绝对值不超过

. 那么，由

可得

记

，

，上式就可以写为

对上述不等式进行同样的操作，以

和

代入前面的

和

，并将所得到的新的

和

记作

和

. 再继续对新的不等式操作，可得

和

，乃至

和

（

）. 可以看到，有递推关系

它们满足

可以证明，当

时，所得到的一列数

将越来越接近

，该数列的极限也正是

. 故可使用

作为

的近似值.

更广泛地说，这其实可以认为是不动点迭代法，但由于我还不太熟，就不方便进行适用于任意情况的推广了.

有些地方可能有问题，如果有，可以评论指正. 看来我的数学水平还不够，sigh~

过了一晚上再来看，OMG，居然就这么多赞了？！我还真没预料到，哈哈，真是开心☺️

忘了说了，上面的这些方法是我在一本叫做《从根号 2 谈起》的数学科普书上了解到的. 这本书挺不错的，推荐阅读！

【2022 年 7 月 29 日 22 点 53 分】

修正了笔误“

”（好家伙都过了两个半月了才更正，我真是懒到家了）.