数学里的 e 为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是 e？

e 太神奇！道生 e，e 生万物……

1 元存银行能实现财富自由吗？数学家薅羊毛得到的 e 会告诉你答案。自然常数

到底蕴含什么终极奥义？它怎么就“自然”了呢？本文从 10 个维度和你们讲透！建议收藏~

• e 为复利的天花板常数
• e 是打开数学和财富之门的钥匙
• e 是为大自然的结界，充满界限感
• e 极具魅力，崇高及无穷的魅力

如果π是初始，那 e 是终结！但最后又殊途同归了......

其实本人在高中阶段就对它进行了深入的思考与研究，曾通过研究对数求导自然地导出了

的表达式，并且证明了它的收敛性。本篇文章从以下 10 个维度对

进行全面且简洁严谨地论述。

1. 自然对数底数 的简介
2. 自然对数底数 的相关轶事（数学家薅羊毛的故事）
3. 自然对数底数 的自然导出（作者本人）
4. 自然对数底数 为收敛性的证明
5. 两种方法推导 的导数
6. 自然对数底数 的级数表示
7. 自然对数底数 为无理数的证明
8. 自然对数底数欧拉公式的导出
9. 自然对数底数 与正态分布的关系
10. 自然对数底数 在金融中的应用（回到数学家薅羊毛的故事）

1.自然对数底数

的简介

是自然对数函数的底数，亦称自然底数，或是欧拉数（Euler's number），以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔对数。它是一个无理数，即无限不循环小数，数值约是

2.自然对数底数

的相关轶事（数学家薅羊毛的故事）

自然底数

最早出现在是约翰·纳皮尔的著作之中，在约翰·纳皮尔于 1618 年出版的对数著作附录中的一张表中，有由这个常数为底计算出的一张自然对数表，也有人说这张表是由威廉·奥特雷制作，但是无论如何，这张表中并没有给出它的表达式。

第一次提出

的表达式的是雅各布·伯努利，他发现如果银行的名义年利率如果不变的情况下，假定为

, 银行每年的付息次数为

, 并且每次付息直接继续存入银行，则年初存入

元，到年底可以获得的现金为

则当付息次数趋于无穷大，即付息时间间隔趋于无穷短时

因此他尝试计算

它发现

越大，这个表达式的值就越大，但是这个表达式并非可以达到无穷大，而是有个极限，这个极限在

到

之间，而这个表达式正是

的定义。

已知的第一次用到常数

数学家莱布尼茨，他于 1690 年和 1691 年给惠更斯的通信中提到这个常数。

1727 年大数学家欧拉开始用

来表示这常数，1736 年这个常数出现在欧拉的《力学》著作中，最终大家约定俗成用字母

表示这个常数。

3.自然对数底数

的自然导出

很多人通常会疑惑数学家为什么会弄出一个自然对数函数底数

，其实这是研究对数函数求导的一个自然结果。在研究对数函数求导过程中，有

因此自然可令

则有

特别地，

4.自然对数底数

为收敛性的证明

我们只需要证明

的定义式收敛即可。实际上

有界，并且

单调，我们知道单调有界函数必然收敛，故自然底数的定义也会自然出现。

5.两种方法推导

的导数

方法一

另外，有了

以后我们令

也自然有

方法二

当然也可以令

其中第二步是对等式两边同时求导。由此可知，函数

的导数是本身。

6.自然对数底数

的级数表示

关于泰勒展开的理论参见文章

讲透泰勒公式，让你成为高手！

该文章从 15 个维度以简洁、严谨、出神入化之风全方位详细讨论泰勒展开理论。根据泰勒展开理论有

且这个级数收敛半径是无穷大，即洛朗级数也是这个结果。特别地

根据这个级数公式，我们也立即知道

的收敛性，因为相邻项比值的极限趋近于零，详见上述文章。

7.自然对数底数

为无理数的证明

用反证明法证明。假定

是有理数，不妨假定

,

其中

均为正整数。根据级数表示公式，我们有

最后一个式子左端为整数，右端第一项也为整数，而

,

因此等式左右两边矛盾，所以

必然为无理数。

8.欧拉公式的导出

根据泰勒展开理论有

并且收敛半径均为无穷大，即洛朗级数展开也是同样的结果。由以上结果，我们立即可得

这便是著名的欧拉公式。

9.自然对数底数

与正态分布的关系

统计学中存在一个分布，叫做正态分布，它的概率函数

其中

为期望，

为方差，读者可以自行计算。特别地，当

时，称为标准正态分布。正态分布之所以重要，是因为任何无限多个独立同分布相加的结果均满足正态分布，或者说任何无限多个独立同分布的均值均满足正态分布。这便是统计学上著名的中心极限定理。关于中心极限定理的证明可参见文章

（全网独家发布）傅里叶级数（三）——若干种变量变换如加法（对应卷积）、数乘、平移对应的傅里叶系数以及统计学中中心极限定理的证明的自然思路和具体证明过程

此篇文章严谨地证明了中心极限定理。

10.自然对数底数

在金融中的应用（回到数学家薅羊毛的故事）

其实在很多实际应用场景中都有

的身影，例如金融学中的利率。假定名义年化利率为

, 付息频率为

, 则显然实际年化利率为

如前所述，这显然是一个关于付息频率的增函数。其实从实际意义上我们也可以知道它是增函数，因为总现金流不变，付息频率越高，则味着现金流回收越早，即在更短的平均时间内回收了相同数额的现金，因此意味着利率越高，所以它是关于付息频率的增函数。当付息频率趋近于无穷大时，则有

这说明

元钱年初以名义利率

存入银行，即使结息次数达到无穷大，我们到年底收获的现金依旧是有限的，最终值为

.