《星际穿越》（Interstellar）中外星球一小时为什么等于地球七年呢？

Cooper 感受到的时间叫固有时。固有时是观测者静止不动时的时间。

在太空中等他的同行人员感受到的时间叫坐标时间。

举个例子。你在坐高铁，北京到广州八小时，你手上有个表。然后在高铁控制室内的人员肯定也有表。在这个情景里，你的手表就是固有时，而控制室的表就是坐标时间。

在牛顿力学中，时间都是同步的，固有时就是坐标时间，所以你到站下了车后不用调表。

但是在相对论中，固有时和坐标时就不一样了，你下了车后其实是比控制室里的人年轻了一些的。

在未来，我们高铁可能能达到光速的几分之一，那此时乘客的固有时和大地上的坐标时间就区别很大的。就会产生如下对话：

“各位乘客，欢迎乘坐 G60 次列车，本次列车发车时间 10 点，到站时间 18 点，但由于列车时速过快，您在车上只会经过 4 小时。”

上文中 10 点到 18 点，即为坐标时间，在地面控制室看列车运行时间 8 小时。

但是乘客的固有时短很多，只有 4 小时。

以上说的是由速度产生的的时间变慢效应。由引力产生的时间变慢效应不太好想，我们得先介绍等效原理。

等效原理说，观测者不能在局部区域里区分由加速度产生的惯性力和由质量产生的引力。

惯性力这个比较难想，在车辆转弯或者急刹车时，仿佛把你要扔出车外的力，即为惯性力。

那怎么从等效原理想出引力让时间变慢呢？比如说，地面有由质量产生的 g 的加速度，我们造个火箭，上火箭也以 g 的加速度飞。这样我们就无法区分地面和火箭了。

考虑在火箭头有人以等间隔发出光信号，在火箭尾的人接收到的光信号间隔就不等于火箭头的间隔。所以引力作用下时间流逝的速度变化了。

为什么此时间隔就不等了呢？不让我讲公式我也解释不明白啊

相对论中有这个效果，主要还是等效原理和光度不变原理的锅。

扯了这么多有的没的，我们来看点具体的吧。

从真空中的爱因斯坦场方程

出发，考虑高度对称性，我们得到了球对称天体周围的度规，也就是在一战战壕中施瓦西得到的施瓦西解

其中

为四维时空中的线元长度，

就是坐标时间。考虑到 Cooper 的行星离那个黑洞还有点距离，假想成施瓦西黑洞也可以。

仔细观查施瓦西度规，你会发现坐标

都没有出现，即施瓦西度规关于时间和角度对称，那么就有两个守恒量

对单位静止质量的能量是守恒的

对单位静止质量的角动量是守恒的

四维速度是坐标对固有时的倒数，也就是

四维速度的点乘一定是 -1，把两个守恒量带进去消去

，再假设轨道在赤道面上，即

，就有

定义

有效势能

和运动方程

。

把行星轨道近似成稳定圆轨道，有

，

。

我们想算一下角速度

其中用到了那两个守恒量的关系。

带入

和

消去

和

后，我们发现角速度和之前牛顿力学好像没什么区别

四维速度可以写成

，从点乘为 -1 即可算出

。即从固有时到观测者时间的转换关系。

我们推出了

是什么意思呢？

是坐标时间，也就是地球时间，

为固有时，也就是 Cooper 的时间。原来此时地球时间的速率和 Cooper 的时间的速率是不一样的！这就是为什么 Cooper 的时间比地球时间要慢。

为了达到这个效果，即一小时等于七年，要什么条件呢？我们先做个单位变换，从几何单位变成国际单位

即可算出黑洞质量与行星到黑洞距离的比。

你看懂了吗。。。

其实我不是很确定能不能把行星轨道近似成稳定圆轨道，因为稳定圆轨道只能发生在有效势能极小处，电影中的行星不会这么巧正好在这里吧。。