既然电流只存在于导体表面，为什么电阻会跟导体的横截面积有关，而不是跟横截面的周长有关？

简版回答

对于一个导线来说，直流电是不存在趋肤效应的

对于交流电来说，趋肤效应指的是大部分电流趋向于分布于导体表面，内部电流比较弱；这时导体的整体损耗当然需要考虑周长这个因素。

不过我们日常使用的工频电趋肤效应并不明显，在低负荷情况下一般不用额外考虑的。

略深入回答

对于趋肤效应（或者说集肤效应）来说，有一个评价指标是趋肤深度：

其中

是导体的电导率，

是导体的磁导率，

为角频率，f 是电流的频率，全部采用国际单位制。

由于趋肤效应的存在，电流的发热大部分集中在趋肤深度以内，但是趋肤深度之下仍然有电流。

在工程实践中，我们把磁导率换成相对磁导率，即

其中

是真空磁导率

，然后把圆周率等常数开出来，把电导率换成更常用Ω·cm 就可以得到工程上常用的一个公式：

对于工频（50Hz）电流来说，纯铜的趋肤深度大约为 9.3mm，远超过一般导线的半径，因此通常不需要额外考虑趋肤深度的问题。

完整回答：麦克斯韦方程组

对于金属中的电流问题，我们可以求助于麦克斯韦方程组：

当然，一般性的麦克斯韦方程组是解不出我们的结果的，我们还要补充其他条件：

首选，要补充的是描述介质性质的物性方程：

电位移矢量

，

为介电常数

磁场强度

还有描述传导电流密度

需要说明的是，这个物态方程不一定是恒成立的，在频率非常高的条件下

是不成立的，这时候需要把

替换成张量......

到这里，方程组还是不好解，所以我们可以做进一步简化，把方程组变成准静态的，即：

，注意，这里同样是不适用频率非常高的情况下......

再补上导体中没有先天的电荷，即无源条件：

我们就可以把麦克斯韦方程组变成：

凑结果，解方程：

(4)这个方程组看上去不好解，尤其是(4-2)，通常而言，这种两个变量不好直接做代换的，我们会采用找一个中间变量的方式来求解，有点类似中小学阶段学的参数方程。

那么对于 E 和 B 来说，这是一个矢量场，怎么找中间变量呢？

回到我们中学阶段，引入中间变量通常是要用恒等式的，比如把圆方程化成参数方程就是利用了正弦和余弦的平方和肯定为 1 这个恒等式

所以对于这里，我们也可以搞一个恒等变形：

由于任意矢量场的旋度的散度恒为 0，即：

恒成立

我们可以定义

，其实 A 这个玩意被称为矢势

这里我们直接继续，带入(4-2)：

这个时候我们已经可以猜出 E 和 A 的关系了：

，当然实际上这一步是不对的，应该是加上一个无旋量，只不过一般我们为了简化过程把这个无旋量设定为 0 了。（加不加不影响结果）

然后我们把 E 和 A 的关系带入到(4-4)，得到：

考虑到(4-1)，我们可以得到

那么(5)可以化简到：

这是一个微分方程，当然实际上是扩散方程

实际上我们可以把 E、B、j 等带进去发现他们都是扩散方程，下一步就是解扩散方程（其实换成 H、B、j 等都可以得到完全样的方程）：

解扩散方程

为了简化计算，我们做如下定义：

定义电线长度方向为 x 正方向，垂直方向为 z 方向，那么，假定在 t=0 时刻，x 方向电场强度 Ex(z,t)满足：

，写成指数形式（欧拉公式，取实部）结果为：

注意，这里的 j 是虚数符号......下同

那么，我们再定义一个分布函数

使得任意满足：

那么问题就简单了，直接带进(7)来求解：

这个方程的结果是：

，由此可以得到：

写回三角函数的形式（取实部）就是：

其实我们从 H、B 等方面也能得到完全同样的结果，分布函数

是完全一样的。

注意到，对于(12)来说，

是一个关于 t 的余弦函数，其最大值 :

显然这是一个减函数，但是其分布范围一直可以增加到 z 为无穷大。这里有一个特殊值，即当

时，

这个特殊值即被定义为趋肤深度

，此时电流大约为导体表面的 36.8%，并不是说不存在电流。

发热量：

由于

对 t 来说是余弦波，所以有效值是最大值的

，因此我们可以计算趋肤深度内发热量与总发热量的占比 Q：

即，交流电大约 87%的发热会集中在趋肤深度以内

这个东西的一个典型应用就是感应电炉加热的时候，频率和工件尺寸相适应的。

另外，发现 @西交一咸鱼 有更完整的推导：

西交一咸鱼：趋肤效应