如果存在一个使用九进制的文明，那么它们会在何时有奇数和偶数的概念？

先写结论：九进制对文明来说其实是非常不错的进制，虽然可能不如八进制、十六进制、十二进制，但和十进制可能半斤八两，如果按照九进制生活，文明的数学发展水平发展速度并不会和十进制有太大的差异，至于奇数和偶数的概念，更是很早能被发现的，不值一提。

不妨我们身临其境一下，以下内容均为 九进制文明视角。

为了描述方便，在这个视角下，不存在「九 /9」这个称谓，所有「九」的称谓都被读作「十」，所以这个文明也自称使用「十进制」。而这个世界中的「百」、「千」、「万」即代表了人类十进制下的 81、729、6561……

【再次提示】：请务必忘记人类使用的十进制！

1）算数1a）乘法口诀

首先是这个文明中里耳熟能详的「八八乘法口诀表」：

据说小孩子们最喜欢的口诀是「六六四十」，听起来就很顺。

为了提升孩子们的算术水平，学校组织学生们去参加了「四张扑克牌算 26 点」的活动，当然，算多少点还是有点争议，毕竟大家太熟悉 3 的倍数了，有老师建议「算 22 点」是更合适的，这能锻炼孩子们对 2 、5 的倍数的理解。

24 点游戏里有哪些非常难算的题目？

这个文明有一个著名的小说叫「东游记」，棠僧经历了八八七十一难才取到真经。

1b）数的整除

对于这个文明，3 和 6 是这个世界最耳熟能详的数字，毕竟这些数的倍数末尾都是 3、6、0。

另外比较有名的说法是「卅数」「丗数」「川数」，这个说法比「奇数」、「偶数」更出名。

「卅数」是指除以 3 余数为 1 的数，也即末尾为 1、4、7 的数；
「丗数」是指除以 3 余数为 2 的数，也即末尾为 2、5、8 的数；
「川数」是指能被 3 整除 的数，也即末尾为 3、6、0 的数；

早年的数学研究很多就是围绕着「卅数」和「丗数」展开的。

当然，由于这个国家的性别依旧是 2 个，很快也诞生了「奇数」和「偶数」的概念：偶数是 2 的倍数，奇数不是 2 的倍数。

怎么看一个数是奇数还是偶数呢？

先说一个概念叫「奇数因子」：1、3、5、7。

然后对于不小于两位的数，我们就看「奇数因子」有几个，如果有奇数个，那这个数就是奇数，比如 12、47、333、656……反之就是偶数，比如 35、40、576、7281 ……

小学数学老师会告诉你，有一个巧妙的方法，可以迅速判定一个数是否为 2、4、8 的倍数：看它们的数字和是否为 2、4、8 的倍数。在数学比较好的国度中，8 的倍数们：8、17、26、35、44、53、62、71 都是耳熟能详的。

3 的倍数就不讲了。判断一个数是否是 6 的倍数的方法，就是先看末尾是不是 0/3/6，再看看是不是 2 的倍数。

至于一个数是否为 5、11 的倍数，小学奥赛老师会告诉你：看这个数奇数位的和与偶数位的和之差是否为 5、11 的倍数。比如 5478，个位和百位的和 4+8=13；十位和千位的和 5+7=13，所以这个数是 5、11 的倍数。再比如 35634，奇数位之和 3+6+4 =14；偶数位之和 5+3=8，而 14-8=5，因此 35634 是 5 的倍数，但不是 11 的倍数。

有哪些长得像质数的合数？

至于一个数是否为 7,14,15 的倍数，一般是超纲内容。超微资深一些的老师会告诉你，有一个简便一些的判别方法，注意到 888 是 7,14,15 的倍数（888=8×7×14=4×14×15），可以将一个大数每 3 位一分割，然后求和，如果这个是 7,14 的倍数，原数也是 7,14 的倍数。

举个例子：23456122，我们先算出：23+456+122= 612，612/7=78 是 7 的倍数，因此 23456122 是 7 的倍数。

1c）计算机数学

后来诞生了计算机。这个文明对 3 更熟悉，因此一开始计算机是 3 进制的，毕竟 3 进制表示数据是非常高效的。但后来发现，3 状态的元器件造价太贵，2 状态的元器件要便宜得多，挣扎了十几年后，终于还是把计算机换成了二进制的。

程序员们对 2 的幂次非常熟悉：2，4，8，17，35，71，152，314，628，1357……

考虑到 2 的 10 次方是 628，所以每年的 6 月 28 日被认为是「程序员节」。

人们发现 2 的 11 次方是 1357，一个这么偶数的数，居然每一位都是奇数，还是等差数列，太神奇了！

人们还发现 2 的 21 次方为 878162，这个数和 1000000 仅仅差了 1.07%，非常接近。

于是 1MB = 2^21 B = 878162 B

2）数论2a）素数

这个国家同样对数论感兴趣，他们比较熟悉 100 以下的 24 个素数：

2、3、5、7、12、14、18、21、25；
32、34、41、45、47、52、58、65、67；
74、78、81、87。

100 以内最大的素数是 87。

有意思的是：对于大于 3 的素数，卅数和丗数各有 11 个，很均衡。

业余数学家费牛发现：

• 2^2^0 + 1 = 3
• 2^2^1 + 1 = 5
• 2^2^2 + 1 = 18
• 2^2^3 + 1 = 315
• 2^2^4 + 1 = 108808

都是素数。于是他猜想，2^2^n + 1 都是素数。

但后来人们发现，2^2^5 + 1 = 12068657455 = 782 × 13542217，这个数不是素数！

这个世界里还有一个很著名的数论入门题，它常常用来识别一个人有没有数论天赋：

111111……（n 个 1） 是不是素数？

没有数论天赋的人，可能绞劲脑汁很久都想不出来。但是著名天才数学家低斯，10 岁的时候就用巧妙的方法解决了。

要不你也来试试？

提示：分奇数和偶数讨论，在这个世界里 10=3×3。

2b）走马灯数

在这个文明里，人们也会研究其他进制，发现在其他进制中，普遍存在「走马灯数」，也就是说，这个数的倍数会是这个数所有数字的重新组合，而且顺序也不变，只是起点和终点变了。

比如：

• 3 进制下的 0121，它的倍数为 1012，1210，2101；
• 5 进制下的 032412，它的倍数为：120324，203241，241203，324120，412032；
• 6 进制下的 0313452421，它的倍数为 1031345242，1345242103，2103134524，2421031345，3134524210，34524210313，4210313452，4524210313，5242103134；
• 7 进制下的 1254，它的倍数为：2541，4125，5412；
• 8 进制下的 1463，它的倍数为：3146，4631，6314；
• 11 进制下的 142857，它的倍数为：285714，428571，571428，714285，857142；
• 12 进制下的 0A3425B17685（注意：10=A，11=B）；
• 13 进制下的 24A7，它的倍数为 4A72，724A，A742……

但唯独 10 进制，似乎没有这样的「走马灯数」。

后来数学家们发现，因为 10=3×3 是平方数，通过原根的相关知识我们可以证明，在平方数进制下，是不存在走马灯数的，真可惜！

“走马灯数” 142857 与 初等数论入门

2c）黑洞数

在这个文明里，虽然没有人们耳熟能详的「走马灯数」，却有另一个耳熟能详的数，它是 62853。这个数被成为「黑洞数」。

黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数。任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数。

比如 31467，将其重新排序后最大的数是 76431 ，最小的数是 13467 ，相减以后得到 62853；

然后继续以上操作：86532 - 23568 = 62853

咦，居然没有发生变化？

这就是黑洞数。

事实上，已经证明，1~4 位数都不存在「黑洞数」，只能跌入循环，于是 62853 是最小的黑洞数。而且，并不是所有的 5 位数都能跌入「黑洞数」的（只有 5210 种初始值可能会跌入这个循环，占 5.8%），更大的可能是，跌入一个「大循环」（除了 11111 的倍数外，其余情况均是如此）：

74832 -> 63843 -> 52854 -> 60873 -> 83841 -> 74832：

因此「黑洞数」 62853 显得弥足珍贵，很多人都把它设置成密码。

（代码参见附录）

3）小数3a）小数的性质

在该文明的「知也」上，数学区会有一个月经问题：0.8888888…… 是否等于 1 ？

有一个高赞回答是：注意到 1/2 = 0.4444444……，因此 1/2 × 2 = 0.888888…… 所以 0.888888…… 等于 1 。

也对，这个文明的小数发展的更早，毕竟 1/2 = 0.444444……，所以人们很早就发现了「循环小数」。

• 1/2=0.44444444……
• 1/3=0.3
• 1/4=0.2222222……
• 1/5=0.1717171717……
• 1/6=0.1444444……
• 1/7=0.125125125……
• 1/8=0.111111111……

在进行 10 以下的等分时，循环节最多 3 位，也比较容易记忆，数学老师会要求背诵下来。

3b）圆周率

关于「圆周率」，一开始，人们认为圆周率大概比 3.12 稍微大一点。

巍国数学家刘辉在自己的《八章算数》里仔细研究了下，认为圆周率等于 3.1242，这个数大概是能被整除的。

后来锦国的科学家孙退乎利用「割圆术」，发现刘辉的结果不太精确。他算出圆周率在 3.1241881~3.1241882 之间。

并且给出了两个近似值：

• 一个叫做「约率」：24/7 ≈ 3.125125，
• 一个叫做「密率」：434/135 ≈ 3.12418824，前 6 位都是正确的。

人们发现，圆周率小数点后前 7 位的每一位都是 2 的幂次，人们认为这应该不是巧合。因此认为圆周率后的每一位可能都是 2 的幂次。

直到一千年后，数学大发展，计算圆周率的方式也被进一步优化了，人们发现圆周率后第 12 位是 7，推翻了这一猜想。

现在人们知道，圆周率大约是 3.124188124074427883……

3c）其他常数

后来，科学家发明了对数。定义如果以 10 为底的对数为 lg

于是 lg2≈0.275, lg3=1/2≈0.444，lg5≈0.653

后来马顿发明了微积分，但与此同时祛拳尼兹也独立发现了微积分，两个人大吵一架，不欢而散。

不过这不重要，重要的是，大家发现 e ≈ 2.641557364 这个数似乎也是一个超越数。

注：以上只是该文明的内容提纲，后续内容可以参见专栏系列文章：

曾加：九进制文明 - 序言 & 设定

附录：「黑洞数」计算代码（好久没用 python，复习一下）：

# Calulate the Blackhole Number in Base n
# Author: PlusZeng
# Date: created: 2022/12/4, modified: 2022/12/19

import math

def list2chr(a,n):
    tmp=''
    if n<=10:
        for i in a:
            tmp += str(i)
    if n>10:
        for i in a:
            if i<10:
                tmp += str(i)
            elif i<36:
                tmp += chr(i+55)
            elif i<62:
                tmp += chr(i+61)
            else:
                tmp += '('+str(i)+')'
    return tmp

def root_10_to_n(x,n,x_digit):    
    result = []; p=n**(x_digit-1);
    while(p>=1):
        result.append(math.floor(x/p))
        x %= p; p /= n;
    return result
        
def minus_hole(x,root_n,x_digit):    
    y_min=sorted(x);a_max = 0;a_min = 0;   
    for i in range(0,x_digit):
        a_min += int(y_min[i])*root_n**(x_digit-i-1)
        a_max += int(y_min[i])*root_n**i     
    return root_10_to_n(a_max-a_min,root_n,x_digit)   

def cal_hole_in_base_n(x_digit,n):
    cirDict = {};
    for i in range(n**(x_digit-1),n**x_digit):
        numList=[]; numList.append(root_10_to_n(i,n,x_digit));
        tmp=0;is_circle=0;
        while(is_circle==0):        
            numList.append(minus_hole(numList[tmp],n,x_digit))
            tmp += 1
            for j in range(tmp-1,-1,-1):
                if numList[tmp] == numList[j]:
                    is_circle = 1
                    break
        cirList = list2chr(numList[j],n)       
        for k in range(j+1,tmp):
            cirList += '->' + list2chr(numList[k],n)        
        if cirDict.get(cirList) is None:
            cirDict[cirList]=[list2chr(numList[0],n)]
        else:
            cirDict[cirList].append(list2chr(numList[0],n))
    for i in cirDict.keys():
        print( i + ' : ' + str(len(cirDict[i])) + ';')

if __name__ == '__main__':
    
    print('Input the base: ')
    n= int(input())
    print('Input the max digits: ')   
    x_digit = int(input())
    
    for i in range(1,x_digit+1):
        print('/n'+str(i)+' digits')
        cal_hole_in_base_n(i,n)
    print('Done!')