(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

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3Blue1Brown 给了一个非常漂亮的几何解释：大概思路是用反比平方定律把问题物理化。假设你在一个周长为 2 的圆形湖上，其直径为

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

假设你在这个环形湖对面有个点光源，那么根据反比平方定律，你感知的光线强度就是

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

然后可以利用相似三角形的性质，即

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

将一个距离你

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的点光源的强度转化成两个距离你分别

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的点光源强度之和.

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

具体操作如下：考虑一个直径为

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的圆

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

，和原本的圆在你所在的位置

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

相切. 根据上面的相似三角形关系，可以将距离你

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的点光源的强度替换成如下两个点光源

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的强度之和. 由于对称性，这两个点光源和你的距离一样，不难验证

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

完成这一步之后，下一步做一个直径为

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的圆

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

，仍然与之前的所有圆在

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

点相切. 做一条

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的直径过

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

，再把这条直径与

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的两个交点分别和

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

连接，再次利用相似三角形将

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

转化成如图所示的两个点光源

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

对

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

用相同的操作，这就把原本

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

上的两个点光源替换成了

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

上的四个点光源

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

不难验证这四个点光源将圆

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

四等分。所以这四个点光源和你的距离(劣弧

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的长)分别为 1，1，3，3。

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

下一步，和第二步操作完全一样，现在做一个周长为

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的圆

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

，与所有圆在

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

点相切，对于每一个

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

上的点光源，做一条过这个点的

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的直径，将直径与

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的交点与

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

连接，利用相似三角形关系将这个点光源替换成

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

上的两个点光源。不难验证

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

上的 8 个点光源将这个圆八等分，与

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

形成的劣弧长度分别为 1，1，3，3，5，5，7，7.

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

继续重复这个步骤。于是在第

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

步，我们做一个直径为

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

的圆

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

，并且

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

是这

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

个点光源的强度之和，这

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

个点光源和

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

围成的劣弧长度分别为 1,1,3,3,5,5,7,7,9,9......当这个操作趋向于无穷的时候，圆越来越大，在你看来这个这些点光源就变成了一条直线上无限个间隔为 2 的点光源：

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？
(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

所以我们得到

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

对于偶数项，我们发现

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

所以如果设

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

就有

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

解得

(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+……=(π^2)/6，为什么结果与 π 有关？

 

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