如何证明 sin²θ+cos²θ＝1？

这是一个有难度的问题，至少对于高中生来说很难理解

我们知道三角函数本质上就是指数函数，而指数函数的定义是

我们需要证明这是一个良定义的记号，也就是说：对任意

，级数

都是收敛的

证明：对任意给定

，设

，则有

，显然存在正整数

，使得

时恒有

（严格来说为什么指数函数的量级小于阶乘函数是需要证明的，但是这由高中数学的知识，简单放缩即可说明）

而

是收敛的级数，从而级数

绝对收敛，故收敛（绝对收敛蕴含收敛是柯西收敛准则的直接推论，如果你不熟悉，那么请自行补充一下基础知识）

这里可能有小伙伴产生了疑问：上面的

表示的是复数

的模长，并非绝对值呀，怎么还能说“绝对收敛”呢？其实这并没有任何问题，因为

定义：对于非空集合

，若

满足条件

1.

，且

2.对任意

均有

（三角不等式）

则称

是

两点间的距离，

按照距离

成为度量空间，记为

定义：给定度量空间

，若

中的点列

满足：对任意

，存在正整数

，使得任意

都有

，则称

为柯西列。

定义：若度量空间

中每个柯西列都收敛，则称

为完备的度量空间。

定理（柯西收敛准则）：在完备的度量空间中，点列 收敛，当且仅当 为柯西列。

显然

是完备的度量空间，因而成立柯西收敛准则：级数

收敛，当且仅当

，这样，由绝对收敛，结合三角不等式，就能推出收敛。

然后是三角函数的定义：

我们将要证明：

在此之前还需要做一些准备工作，我们要借助指数函数的一个性质：

（这并非天经地义成立，不需证明的事实！）

为此我们还需要一个引理：

定理：设 均为绝对收敛的复数级数， 是 的一个重排，则不论如何重排，均有级数 收敛且成立 ，特别地，此时成立 。

证明：较繁琐，可以参考任何一本数学分析教材，此处省略（主要因为学过数分的人都知道这个定理应该如何证，而没学过数分的同学，我即便在这里写了你们也没有耐心去看的，因为太啰嗦了）。

回到原题，前面已经证明了

是绝对收敛的复数级数，因而有

这其中化简时运用了二项式定理：对正整数

成立

，其中

为组合数。

现在距离我们的目标还差最后一个细节——

是多少？很简单，代入

即可（注：在指数函数的定义中，便约定了

）

好了，准备工作已经全部到位，现在来证明题主想要的恒等式吧

可见

这个大家无时无刻都在使用的恒等式一点也不平凡！并且其证明过程也是较为复杂的。因而，作为中学生，想要真正理解其证明过程，还是太困难了。