微分、差分和变分的概念有什么异同？

微分：是当自变量x 变化了一点点（dx）而导致了函数（f(x)）变化了多少。

比如，国民收入 Y=f(c)，c 是消费，那 c 变化了 dc 时，会导致 Y 变化多少呢？变化 dY，这就是微分，而 dY/dc 就是这个单变量函数的导数。把微分 dY 视为 dx 的线性函数，那么导数就是这个线性函数的系数：注意，这个视角甚至可以推广到微分流形、泛函，等你以后深入学习到更高的层次就会知道，现代数学对于微分的认识是：算子“d”代表着从流形上的 n-1- 形式场到 n- 形式场的一种线性映射。这里作个解释：流形，你就理解为弯曲 / 扭曲空间，二维流形直观上你可以理解为曲面，但还是有区别，因为我们说曲面总是想着三维空间中的一张曲面，也就是说，我们默认是把曲面嵌入到三维欧式空间中去的，但流形意味着我们把曲面本身当作空间去研究。流形理论里的“微分”有很多很多：我们说的算子 d 叫外微分，除此之外还有协变微分 / 协变导数，李导数，等等。这里就不扯那么远了。

差分：粗糙地讲，就是离散化的微分，即

y。当变化量很微小时，就近似看成 dy。差分的概念还是比较初等的，高中就应该接触不少了。

变分：无限维空间上的微分，我们一般称之为Frechet 微分，其实就是微分在无限维空间的推广（照搬）。Frechet 微分作用于泛函就叫变分。这里就不扯什么泛函分析里的 Banach 空间微分理论了，简单说下，泛函是将函数空间（无限维空间）映射到数域，就是，把一个函数映射成一个数。打个比方，从 A 点到 B 点有无数条路径，每一条路径都是一个函数吧？这无数条路径，每一条函数（路径）的长度都是一个数，对吧？那你从这无数个路径当中选一个路径最短或者最长的，这就是求泛函的极值问题。有一种老的叫法，函数空间的自变量我们称为宗量（自变函数），当宗量变化了一点点而导致了泛函值变化了多少，这其实就是变分。变分，就是微分在函数空间的拓展，其精神内涵是一致的。求解泛函变分的方法主要有古典变分法、动态规划和最优控制

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时隔很久，回知乎看了一下，楼下有关“变分”的回答是错误的，居然还有很多人回复说“豁然开朗”。都给我看下图：

坐标轴里三条黑线叫做函数，这个都知道，函数是把 n 维空间的一个点映射成一个数！

图片里虚线对应的映射是泛函！看清楚了，泛函的取值取决于系统的整体路径，泛函将整条路径映射成一个数！也就是说，原来的函数 X(t)成为了泛函的宗量 X（自变函数），t 从此以后退化为参数！不能再叫泛函的自变量了！泛函的自变量是函数整体！函数整体！是整个路径的变化！楼下说“变分是函数关系发生微小变化而自变量不变时引起因变量的变化”这个理解是错的，因为这个时候自变量已经退化为参数了，它变不变无所谓！

我建议数学功底好的同学亲自去看看《非线性泛函分析》的书，数学实在不行的同学，仔细看看有关变分法或最优控制理论的书籍！建议在校同学有条件的最好自己多去图书馆看看，尽量少花时间在网络上问问题。