为什么 sin(x²＋y²)＝0.5 的图像这么丑陋?

软件画图有时候会把图像画“崩”掉，常见于隐函数图像，以及图像中含有间断点的情况。比如之前画过的一个“破丝袜曲线”：

请问这个方程图像有什么性质？

画崩了的原因之一是程序只能用有限的精度表示浮点数。在此限制下有一些本不该得到 0 的算成了 0，或者应该相等的地方判定成了不相等之类，画出来的图像就变得破碎。

如果发生破碎的地方本身也是有规律的，它与原始的图像亦或是其他的破碎之处甚至可能发生“干涉”产生复杂的花样：

有一些软件可以提高画图的准确性，比如 Mathematica 里指定

PlotPoints→50

，大幅提升画图效果，仅有少量的崩坏点残留：

对付隐函数的神器 GrafEq 能得到非常准确漂亮的图像，代价是画图耗时比较长：

对于本提问给出的具体方程，手动分析一下画图的过程也不错。以最里面的 6 个圆为例——

令括号里的东西

，满足方程的

就是使

的那些值：

目前这些点的横坐标是

，但是

却是半径为

的圆。那么我们可以把这些

往函数

上面映射一下，把它们变成

：

现在这些

都在 y 轴上，不必担心，因为画圆的时候只会用到它们与原点之间的距离。将这些点绕着原点画圆，就是原始方程的图像了：

像这样找到每个圆的半径，并在软件里画这些圆（而不是直接画原始的方程），一点也不丑陋了对吧：

（直接画圆都会崩的话这软件可以狗带了）

可以看到图像是两个一组、从中心向外间隔越来越近的同心圆。

「间隔越来越近」源于上面拆分画图步骤的第二步

是一个斜率越来越小的映射。换用别的映射就能得到不同方式分布的同心圆。

比如最简单的

，这是

的图像：

再如

，应该是间隔越来越远的同心圆对吧（由于

增长得太过迅速，给它添加一个系数 0.0001）。

这对应的是

的图像。

要是直接画它的话，只能说是非常抽象了：